Фелікс Кляйн

Фелікс Кляйн

Стаття у Вікіпедії

Медіафайли у Вікісховищі

Фелікс Християн Кляйн (нім. Felix Christian Klein; 25 квітня 1849 — 22 червня 1925) — німецький математик, відомий своїми роботами з теорії груп, теорії функцій, неевклідової геометрії, а також про зв'язки між геометрією і теорією груп.

Цитати

Математика взагалі — це основна наука про самоочевидні речі.

Заперечувати застосування з математики — це все одно, що шукати живу істоту з самим тільки скелетом без м'язів, нервів і судин.

Математика наших днів нагадує мені велике підприємство, що виробляє зброю в мирний час. На вітрині повно зразків, які своєю вигадливістю, витонченим і приємним для ока виконанням захоплюють знавця. Власне походження і призначення цих речей, здатність їх стріляти й вражати ворога відступають у свідомості на задній план і навіть зовсім забуваються.

Формули — могутні, але сліпі!

Математика лише тоді зможе рівномірно розвиватися в усіх напрямках, якщо не нехтуватимуть жодним різновидом дослідження. Нехай кожен математик працює в тому напрямку, до якого лежить його серце.

У математиці, як у жодній іншій науці, вся будівля ґрунтується на декількох основних принципах, і споруджено її згідно з законами, що мають характер примусової необхідності. Цей винятковий характер побудови, який виділяє математику з-посеред інших творінь людського розуму і надає їй такої славнозвісної «ясності», робить її водночас найменш приступною з усіх наук. Справді, той, хто хоче глибоко осягнути її, мусить сам власною працею крок за кроком пройти увесь шлях її розвитку; абсолютно неможливо опанувати хоча б одне математичне поняття, якщо раніш не з'ясуєш собі всі попередні поняття та всі взаємовідношення між ними, які привели до утворення цього поняття.

Індуктивна робота того, хто вперше встановив яке-небудь положення, звичайно, така сама цінна, як і дедуктивна робота того, хто його вперше довів, бо те й друге однаково необхідне.

Дуже часто теорія, маючи суто наукові цілі, створює та досліджує ті основні поняття, застосування яких відразу ж стає необхідним для опанування проблеми, висунутої в суміжній науковій галузі. Можна було б вимірювати цінність будь-якої нової наукової побудови тим, наскільки широко її можна застосувати поза колом тих абстрактних образів, які тільки й має на увазі її автор, але звичайно чисто математичний світ ідей треба порівнювати з квітучим деревом, від якого ми й не сподіваємося, що кожна його розпукла квітка принесе нам стиглий плід.

Метою чистого математика є повна, до кінця досліджена і глибоко продумана система всіх можливостей, що їх надає вибраний об'єкт. Основний допоміжний засіб для цього — чіткий логічний розподіл та класифікація окремих випадків… Між іншим, мета обчислювача-практика — одержати числовий результат. Тим-то він поминає логічне витончене доведення законності своїх прийомів, покладаючись більш чи менш позасвідомо на власний математичний інстинкт, який диктує йому мовчазний допуск необхідних передумов.

Розвиток математичного обдаровання підлягає тим самим законам, що й розвиток будь-якої іншої творчої здібності.

Аналітична формула — це не самоціль, а тільки найстисліше формулювання фактично сприйманих просторових побудов; її подальший розвиток відбувається на їхній основі.

Психологія математичної творчості приховує ще свої великі проблеми.

Математика — справа аж ніяк не тільки розуму, але також і фантазії.

Створення доведень, необхідних для всіх тверджень, є, безумовно, наріжним каменем будь-якої математичної теорії. Відмовившись від необхідних доведень, математика, безперечно, прирекла б себе на загибель. Таємницею творчості генія, однак, назавжди залишиться пошук нових проблем, знаходження нових теорем, що містять важливі результати та співвідношення. Не створюючи нові точки зору, не ставлячи нові цілі, математика в усій своїй логічній строгості могла б вичерпатися й захолонути, коли зужила б весь матеріал. Таким чином, розвиткові математики сприяють скоріше ті, хто відзначається не стільки строгістю своїх доведень, скільки своєю інтуїцією.

Треба вчитися мистецтву добувати з неосяжної кількості наявного друкованого математичного матеріалу основні ідеї в їх загальному зв'язку між собою без марної витрати часу на те, щоб проробляти багато частковостей, не впадаючи водночас у дилетантизм та верхоглядство. Лише так можна набути всебічну математичну освіченість, без якої я не випустив би з університету нікого з тих, хто хоче працювати далі.

Справжній геометр… високо цінує саме те, що він має змогу бачити все, про що думає, і він цим пишається.

Центральна проблема всієї сучасної математики — це вивчення трансцендентних функцій, визначених диференціальними рівняннями.

Евклід мав цілковиту рацію: в математиці не існує «царського шляху». Навіть тоді, коли сягають її глибин з боку проективної геометрії, виникають у свій час ті самі труднощі, які з'являлися і в метричній геометрії, і їх можна подолати лише тонкими логічними дослідженнями.

Безвідносно і навіть супроти волі того чи іншого математика, уявні числа знову й знову з'являються при викладках, і лише поступово, в міру того, як виявляється користь від вживання їх, вони набувають дедалі ширшого розповсюдження.

Один афоризм, що, здається, належить філософові Гегелю і давніше часто повторювався у книжках і лекціях, виглядає так: функція у=f(х) зображує буття (das Sein) речей, а похідна — їх становлення (das Werden).

Прикладна математика не зупиняється, звичайно, у своєму розвиткові, навпаки, охоплює дедалі ширші нові галузі. Щоб переконатися в цьому, досить лише нагадати про створення всієї «математичної фізики», тобто нашого знаряддя теоретичного дослідження в усіх ділянках фізики, які лежать поза межами механіки.

Теорія чисел примітна саме тим, що різні математики відповідно до своїх смаків ставлять її на зовсім відмінні місця. Одних математиків ця теорія захоплює повністю, через що вони, як от Гаусс, вважають її царицею математики, інші ж, навпаки, проходять повз неї байдуже. Причина такого неоднакового — не тільки в різних людей, але й у різні епохи — ставлення до теорії чисел полягає в тому, що ця теорія діє зовсім інакшими методами, ніж решта галузей нашої науки, а людина спроможна правильно і з належним успіхом володіти лише однією зброєю.

Цитати про автора

	Те, що можна було б назвати евклідово-клейновою концепцією геометрії, тобто вивченням еквівалентності при даній групі трансформацій, замінила тепер ідея того, що простір має притаманну йому структуру, а саме систему співвідношень, яку можна б визначити, хоч узагалі так і не робиться, за допомогою термінів групи трансформації.
	— Дж. Г. Уайтхед

Джерела

Математика в афоризмах, цитатах і висловлюваннях / Н. О. Вірченко. — Київ: Вища школа, 1974. — 272 с.