Перейти до вмісту

Давид Гільберт

Матеріал з Вікіцитат
Давид Гільберт
Стаття у Вікіпедії
Медіафайли у Вікісховищі

Давид Гільберт (нім. David Hilbert; 23 січня 1862 — 14 лютого 1943) — німецький математик. У 1910—1920-их роках (після смерті Анрі Пуанкаре) був визнаним світовим лідером математиків.

Цитати

[ред.]
  •  

Він став поетом — для математика у нього не вистачило фантазії[1]. — Про одного зі своїх учнів.

  •  

У кожної людини є певний світогляд. Коли цей кругозір звужується до нескінченності малого, то він перетворюється в точку. Тоді людина і каже, що це є її точка зору[1].

  •  

Все те, що взагалі може бути предметом наукового мислення, повинне, оскільки воно вже достатньо визріло для утворення теорії, підпорядковуватись аксіоматичному методові, а отже, посереднім чином і математиці.[2]

  •  

Безперечно, що перші й найдавніші проблеми кожної галузі математичного знання виникли з досвіду, зі світу зовнішніх явищ. Навіть правила лічби з цілими числами відкрито в такий спосіб ще на ранньому щаблі культурного розвитку людства — так само, як і тепер дитина пізнає застосування цих правил емпіричним шляхом.[3]

  •  

При подальшому розвитку будь-якої математичної дисципліни людський розум, підохочений досягненнями, діє вже самостійно: він сам ставить нові й плідні проблеми, часто без помітного впливу зовнішнього світу, за допомогою лише логічного зіставлення, узагальнення, спеціалізування, вдалого розчленування і групування понять, і виступає опісля сам на перший план як постановник задач. Так виникла задача про прості числа та інші задачі арифметики, теорія Галуа, теорія алгебраїчних інваріантів, теорія абелевих і автоморфних функцій, і так виникали взагалі майже всі тонкі питання сучасної теорії чисел та теорії функцій.[3]

  •  

Математика — це вчення про відношення між формулами, позбавленими будь-якого змісту.[3]

  •  

Математична наука, на мою думку, становить неподільне ціле, організм, життєздатність якого зумовлена зв'язком між його частинами. Незважаючи на всю різноманітність знань у різних ділянках математики, ми ясно бачимо тотожність логічних допоміжних засобів, спорідненість ідей у математиці як цілому і численні аналогії в її різних галузях. Ми також помічаємо, що чим далі розвивається математична теорія, тим гармонійнішою і одноріднішою стає її будова, і між доти відокремленими галузями науки відкриваються несподівані зв'язки. Тому виходить, що при розбудові математики її єдиний характер не тільки не губиться але навпаки, проступає дедалі виразніше.[3]

  •  

Цілісний характер математики умовила внутрішня сутність цієї науки: адже математика — основа всього точного природознавства.[3]

  •  

Без математики сучасна астрономія і фізика неможливі; у своїй теоретичній частині ці науки, так би мовити, розчиняються в математиці.[4]

  •  

Доведення існування, які використовують закон виключеного третього мають здебільшого особливу чарівність завдяки дивовижній стислості й витонченості. Відібрати в математиків закон виключеного третього — це те саме, що забрати в астрономів телескоп чи заборонити боксерам користуватися кулаками. Заборона теорем існування і закону виключеного третього майже рівнозначна цілковитій відмові від математичної науки.[5]

  •  

Хибно було б вважати, що строгість у доведенні — ворог простоти. Навпаки, численні приклади засвідчують, що суворі методи водночас і найпростіші, і найзрозуміліші. Саме завдяки прагненню до строгості ми й знаходимо простіші доведення.[5]

  •  

У новітній математиці доведення неможливості розв'язання певних проблем відіграють неабияку роль; ми констатуємо, що такі давні й важкі проблеми, як доведення аксіоми про паралельні, як квадратура круга або розв'язання рівняння п'ятого степеня в радикалах, все ж таки чітко й досить задовільно розв'язано, хоч і в іншому напрямку, аніж спочатку гадалося. Цей дивовижний факт, поряд з іншими філософськими підставами, приводить нас до переконання (яке поділяє кожен математик, хоч нікому ще не пощастило підтвердити це доведенням), що будь-яка певна математична проблема неодмінно піддається точному доведенню, чи то у формі конкретної відповіді на поставлене запитання, чи то у вигляді доказу, що розв'язання її неможливе, тобто що всі спроби її розв'язати неминуче будуть невдалі… Переконання в тому, що будь-яку математичну проблему можна розв'язати, дуже допомагає роботі дослідника. Шукайте розв'язки проблеми! Ви зможете знайти її за допомогою чистого розуму, бо в математиці не існує «ignorabimus» (Е. Дюбуа-Реймон в одній промові щодо деяких нез'ясованих наукових проблем висловився так: «Ignoratus et ignorabimus», тобто: «Ми не знали й не знатимемо»).[6]

  •  

Математик повинен — як це й зроблено в геометрії — брати до уваги не тільки факти реальної дійсності, а й усі логічно можливі теорії; він повинен бути особливо уважним до того, щоб дістати якнайповніший огляд сукупності наслідків, що випливають із прийнятої системи аксіом.[6]

  •  

Якщо нам не щастить розв'язати математичну проблему, то часто це спричинене тим, що ми не встигли належно опанувати загальну точку зору, з якої розглядувана проблема виявиться лише окремого ланкою в ланцюгу споріднених проблем… [З другого боку,] можливо, що в більшості випадків, коли ми даремно шукаємо відповіді на питання, причиною цього є те, що ще не розв'язано або не повністю розв'язано простіші й легші проблеми, ніж дана.[6]

  •  

Вимога точності, широковідома в математиці, відповідає загальній філософській потребі нашого розуму; з другого боку, тільки заспокоївши цю вимогу, ми можемо повністю з'ясувати значення, яке має сутність та плідність задачі.[7]

  •  

Той, хто шукає методів, не маючи на увазі якоїсь конкретної задачі, здебільшого зазнає невдачі.[7]

  •  

Треба завжди вміти сказати замість «точки, прямі лінії, площини» — «столи, стільці, кухлі на пиво».[7]

  •  

Один давній французький математик сказав: «Математичну теорію можна вважати досконалою тільки тоді, коли вона досить ясна, щоб зміст її легко міг засвоїти будь-хто сторонній». Цю вимогу ясності й легкої приступності, тут так гостро поставлену щодо математичної теорії, я ще гостріше поставив би щодо математичної проблеми, яка претендує на досконалість: адже ясність і легка приступність нас приваблюють, а ускладненість і заплутаність відштовхують. Математична проблема, далі, повинна бути досить важка, щоб нас спокусити, але водночас і не зовсім недосяжна, щоб не виявилися марними наші зусилля; вона повинна бути провідним знаком на поплутаних стежках до прихованих істин, повинна, нарешті, нагадувати про втіху, яку дарує нам знайдена розв'язка.[7]

  •  

Геометрія — це не що інше, як та частина всієї будівлі понять фізики, що відображає можливі співвідношення взаємного розміщення твердих тіл у світі дійсних речей.[8]

  •  

Спочатку був символ.[8]

  •  

Математичні дослідження дають нам так звану еліптичну геометрію — природну модель скінченного світу.[9]

  •  

Однорідний континуум, який мав би допускати необмежений поділ і тим самим реалізовувати нескінченне в малому, насправді ніде не трапляється.[9]

  •  

Ніхто не зможе вигнати нас із раю, що його створив нам Кантор.[9]

  •  

Оперування з нескінченним може стати надійним тільки через скінченне.[10]

  •  

Математичний аналіз можна в певному розумінні назвати єдиною симфонією нескінченного.[10]

  •  

Жодна проблема не хвилювала так глибоко людську душу, як проблема нескінченного, жодна ідея не виявила такого сильного та плідного впливу на розум, як ідея нескінченного. Але, з другого боку, жодне поняття не потребує такою мірою з'ясування, як поняття нескінченного.[10]

  •  

Найперспективніше і найвизначніше досягнення минулого [XIX] століття — відкриття неевклідової геометрії.[10]

Примітки

[ред.]

Джерела

[ред.]

Математика в афоризмах, цитатах і висловлюваннях / Н. О. Вірченко. — Київ: Вища школа, 1974. — 272 с.